期待値の問題
　
　　　区間 0＜x＜1 からランダムに数を一つ選ぶという試行を繰り返し，ｎ回目に選んだ数を a[n] とする。
　　　このとき，a[1] + a[2] + … + a[n] が初めて１を超えるようなｎの期待値を求めよ。

　　この問題は、期待値き関する次の公式を使って解く事ができます。
　　 　　　　　　
　　上式のP（X＞K）とは、この問題の場合a[1] + a[2] + … + a[k] が1を超えない確率です。
　　P（X＞0）＝P（X＞1）＝1です。
　　次にP（X＞2）ですが、最初の試行でa[1]を選んだならば、a[2]≦1-a[1]ならば1を超えません。
　　したがって、P（X＞2）は下図の正方形の緑色部分の面積となります。

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　
　　　P（X＞3）は、下図の立方体の緑色の線で囲まれた範囲の体積となります。
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


　　したがって、P（X＞0）のとき
　　 　　　　　　　　　　
　　P（X＞1）のとき
　　　　　　　　　　　　
　　P（X＞2）のとき
　　　　　　　　　　　　　
　　P（X＞3の）のとき
　　 　　　　　　　　　　　　となっていて
　　が成り立つと予想できます。
　　　そこで、この式がkまで成り立つと仮定し、P（X＞K+1）を求めます。
　　K+1回目の試行でa[ｋ+1]が選ばれた場合を考えるとa[ｉ] （ｉ＝1～ｋ）は、a[ｉ]≦1-a[ｋ+1]である必要があります。
　 この確率は、
　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　となります。
　　
　　区間 0＜x＜1-a[ｋ+1]からランダムに数を一つ選ぶという試行を繰り返し，ｉ回目に選んだ数を ｂ[ｉ] とすると、次式が成り立ちます。
　　　ｂ[1] + ｂ[2] + … + ｂ[ｋ] が１－a[ｋ+1]を超えない確率＝a[1] + a[2] + … + a[ｋ] が１を超えない確率
　　したがって、この式と仮定によってＰ（Ｘ＞Ｋ+1）は次の積分によって導かれます。
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　この結果により、この問題の答えは、
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　eのマクローリン展開となります。
　　

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