ギャンブラーの破産問題の応用

　　　　　Ａがa-1枚Ｂが1枚のチップを持っているとする。彼らはコインを投げ表が出たらＡのチップをＢへ1枚渡し、コインの裏が出たらＢのコインを1枚Ａへ渡す
　　　　先にa枚のチップを得た方を勝者とする。勝者が決定したらまた、Ａにa-1枚Ｂに1枚のチップを渡しこのゲームを繰り返す。Ｋ+1回目のゲームがＮ回コイン
　　　　を投げた時点で終了し、かつ、1～Ｋ回目までＡが勝者となり、Ｋ+1回目にＢが勝者となる確率は？
　　　　
　　　　

　　　まず、この問題を1次元ランダムウォークに置き換えて考える。
　　　
　　　時刻0に状態0からスタートしたランダムウォークが、状態aより先に状態-1へ到達するという事がおきて、その後、-1からスタートしたランダム
　　　ウォークが状態a-1より先に状態-2へ到達する。以下同様の事が続いて最後は、状態-（Ｋ-1）からスタートしたランダムウォークが状態a-（Ｋ-1)
　　より先に状態-Ｋへ到達する。
　　この確率は次の式によって与えられます。
　　

　　状態-Ｋからスタ－トしたランダムウォークが-Ｋ-1より先a-Ｋに到達する確率は次式となります。
　　

　　したがってこのゲームをＫ+1回行い1～Ｋ回目までＡが勝者となり、Ｋ+1回目にＢが勝者となる確率は次式となります。
　　　（式．1）


　　上式は、状態a-Ｋへの到達時刻ごとに場合分けできるので、次のような無限級数式に変換できます。
　
　　　（式．2）

　　Ｎ＝a+k+2m回コインを投げた時にｋ+1回目のゲームが終了し、かつ、1～Ｋ回目までＡが勝者
　　　　となり、Ｋ+1回目にＢが勝者となる確率は、この無限級数式のm項目です。
　　
　　そこで（式．1）を（式．2）の形にするために（式．1）の分母、分子を次の様に変形します。

　　

　　

　　

　　分母は、の形で展開されているので分母と分子の積におけるの項のn (mod a)は分子のm (mod a)により定まります。
　したがって、の係数を定める分子の式（下式）におけるiは次の条件を満たす必要があります。
　　

　　
　　iが満たすべき条件

　　ai-i+k=n(mod a)
　　 　-i=n-k(mod a)
　また、このiは次の条件も満たす必要があります。
　(a-1)i+k≦n
　ここで、この条件を満たすiでi≦aとなるものをtと表記します。すると、分母と分子の積におけるの項の係数は次の様になります。　　

　　
　　　上式のrは、この不等式を満たすiの最大値をi1,この不等式を満たすiの最大値をi2とした時、i1とi2を比較し小さい方を示す。
　　　上式のuは、この不等式を満たすiの最大値をi1,この不等式を満たすiの最大値をi2とした時、i1とi2を比較し小さい方を示す。
　　　
　　　　p＞qを仮定すると時刻0に状態0からスタートしたランダムウォークが状態x(x>0）へ到達する確率は1です。
　　したがって、時刻0に状態0からスタートしたランダムウォークが1～kステップまで-1に進んだという条件で初めて状態aへ到達した時刻がＮである
　　という確率をＰＮkとするとqのk乗は、ＰＮkの和として表現されます。(N=2K+a.2K+a+2.2K+a+4...)
　　
　　
　　
　　　
　　Ｎ＝2Ｋ+aの場合は、1～kステップまで-1に進んだ後、Ｋ+1～2Ｋ+aまで+1に進んだという道のみ存在します。
　　Ｎ＝2Ｋ+a+2iの場合は
　　 　　　　通りの道があります。

　　同様に、時刻0に状態0からスタートしたランダムウォークが1～n(n>k)ステップまで-1に進んだという条件で初めて状態a+n-kへ到達した時刻
　　がＮであるという確率をＰＮnとすればqのn乗も、ＰＮnの和として表現されます。(Ｎ＝3n+a-k.3n+a-k+2.3n+a-k+4...)
　　Ｎ＝3n+a-kの場合は、1～ｔステップまで-1に進んだ後、n+1～3n+a-kまで+1に進んだという道のみ存在します。
　　Ｎ＝3n+a-k+2iの場合は
　　　　　　通りの道があります。
　　したがって、
　　 　と表現できます。
　
　　この事によって（式．1）を（式．2）へ変換する事ができます。
　　
　　Ｋ+1回のゲームがＮ回（ｋ+a+2i)コインを投げた時点で終了し、かつ、1～Ｋ回目までＡが勝者となり、Ｋ+1回目にＢが勝者となる確率は、　
　　と下式の積となります。　　　
　　
　


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